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负数可以开平方吗?虚数的一些知识,虚数和数字信号   电脑技术     本文作者:老贾22号   发布时间:2023/1/4 1:04:00   阅读次数:       支持       中立       反对   此主题内容最后修改日期:2023 - 01 - 04 01:10:30

负数可以开平方吗?当然可以的,有一个非常重要的数学常数i,i的平方等于-1,就是i^2=-1,所以负数开平方就很简单了,比如-4的开平方就是2i。

i叫做虚数,它不属于我们的世界,就好像你在照镜子,镜子里的世界是负数的世界,你的世界是正的世界,两个世界都可以被观察,如果镜子像水面或空气一样可以穿透,那么镜子平面本身是无法被观察到的,虚数的世界就好像是镜子平面的世界。

现代物理学家们开始认为,我们感受到的时间可能不是真的,与其交叉或垂直的方向有一个虚数的时间轴,虚时间是永恒的时间、真实的时间、不需要创生的时间,而实时间则是可以扭曲和变形、开始和结束、加速和减速、甚至被穿越的时间。

我们的宇宙很可能是一个巨型的计算机模拟出来的虚幻,而虚数的宇宙才是真实和永恒。



以下内容整理自网络,仅供参考。

各种数:

实数包括有理数和无理数。有理数主要包括整数、分数、有限小数、无限循环小数。无理数主要包括开方开不尽的数、无限不循环小数。圆周率"π”属于无限不循环小数;"根号2”、"3的立方根”都属于开方开不尽的数。

虚数形如"a+bi”、"bi”(a、b∈R,并且b≠0)的复数都是虚数。其中"i”是虚数单位,"i”的平方等于"-1”。把"a+bi”中的"a”称为"实部”,把"b”称为"虚部”。

实数、虚数都是复数,虚数也可以理解为虚部"b”不是0(带着"i”,并且"i”的系数不是0)的复数。"bi”也称为"纯虚数”。

复数用"z”表示,复数z的一般形式是"z=a+bi”。



从整数、分数、到负数、无理数,最后一直到虚数、复数,没有更多的数了,数学上可以证明到了虚数为止数已经完备了,不需要再扩展了。



虚数跟计算机有关:

虚数跟计算机有关。道理虚数和计算机有怎么样的关系?虚数,是信号处理的基础,而信号处理的各种结论,也构成了计算机的一方面技术的基础。

数字信号处理中,尤其是快速傅里叶变换(FFT),用到复数。

正交信号,也称为复信号,被用于数字信号处理的很多领域,比如:数字通信系统、雷达系统、无线电测向中对到达时间差异的处理、相关脉冲测量系统、天线波束形成的应用、信号边带调制器等等。

实际表示复数变量使用实部和虚部两个分量。正交信号也一样,必须用实部和虚部两路信号来表示它,两路信号传输会带来麻烦,实际信号的传输总是用实信号,而在信号处理中则用复信号。(实部和虚部的称谓是传统的叫法,在我们日常应用中一直被延用。在通信工程中分别用同相和正交相表示。)

复数乘法器,在许多 DSP 应用中很常见,包括信号混合和快速傅立叶变换。Complex Multiplier IP以笛卡尔形式执行两个操作数的复数乘法。 结果也是笛卡尔形式。



一个正弦信号是一个二维的信号,这个二维信号在某时刻的瞬时值可以用一个有两个部分组成的复数来表示,这两个部分即我们所说的实部和虚部。

注:real和imaginary 两词很传统,在日常中的意思使它们在这里的使用显得有点不太合适。因此,通信工程师们会使用同相相位和正交相位两个术语,后边更多的使用这两个术语的地方。

复数C被许多的不同方式来表示,例如:矩形形式C=a+jb也被叫做笛卡尔形式。三角形式C=M[cos(Φ)+jsin(Φ)] 通常用于在通信系统中描述正交信号。等等。

正交采样方式的一些优点:

(1)每个A/D转换器的工作采样率是标准实信号采样速率的一半。

(2)硬件工作在较低的时钟速率下可以节省能源。

(3)对于指定的采样率,我们能捕捉更大带宽的模拟信号。

(4)得益于更宽的频率范围覆盖,正交序列可以使FFT处理更加有效。

(5)由于正交序列通过两个通道被有效的过采样了,这使信号的平方运算在不需要upsampling(上采样)的情况下成为可能。

(5)确定信号的相位便于相参处理,并且正交采样也让解调过程中信号的瞬时幅度和相位测量变得简单。

继续扩展虚数概念:

可以增加更多的虚数轴,提升数元的维度。

在近一百年后,在量子力学领域,四元数可以很好的描述电子自旋和光子偏振等2-状态系统,在计算机工业界,四元数也被广泛应用于机器人和图形等任何需要三维旋转的领域。

1898年,就有人证明了只有实数、复数、四元数和八元数这4类数可以进行加减乘除运算, 前3种数的除法运算为20世纪的物理发展奠定了数学基础:实数在经典物理中无处不在,;复数提供了量子力学的数学基础,四元数为狭义相对论提供了基础,一些研究人员猜想:也许八元数蕴含着宇宙的奥秘?1970年代,耶鲁学者Feza Gürsey等人发现,8元数与原子核内的强相互作用有神秘的联系。

不难想象,16元数 (Sedenion)被发明出来也是自然而然的。但元数越高并不一定越好,四元数已不满足乘法交换律,8元数不满足乘法结合律,16元数加法都有问题,更高的256元数甚至更高元数的意义何在?生活在三维空间的人类认知还难以理解这些超复数与宇宙的关系?

虚数是旋转:

i 表示旋转量,我们就可以用 i ,表示任何实数的旋转状态。



实数轴看作横轴,虚数轴看作纵轴,就构成了一个二维平面。旋转到某一个角度的任何正实数,必然唯一对应这个平面中的某个点。

虚数的引入,大大方便了涉及到旋转的计算。旋转就是乘法。比如,一条船的航向是 3 + 4i 。如果该船的航向,逆时针增加45度,请问新航向是多少?45度的航向就是 1 + i 。计算新航向,只要把这两个航向 3 + 4i 与 1 + i 相乘就可以。


为什么一个复数改变旋转角度,只要做乘法就可以了?

  a + bi = r1 * ( cosα + isinα )
  c + di = r2 * ( cosβ + isinβ )

这两个复数相乘,( a + bi )( c + di ) 就相当于

  r1 * r2 * ( cosα + isinα ) * ( cosβ + isinβ )

展开后面的乘式,得到

  cosα * cosβ - sinα * sinβ + i( cosα * sinβ + sinα * cosβ )

根据三角函数公式,上面的式子就等于

  cos(α+β) + isin(α+β)

所以,( a + bi )( c + di ) = r1 * r2 * ( cos(α+β) + isin(α+β) )

这就证明了,两个复数相乘,就等于旋转半径相乘、旋转角度相加。

正因为虚数代表旋转,所以各种旋转的电场信号类似的理论都可以和虚数有密切关系。



虚数成为微晶片和数字压缩算法设计中的核心工具,虚数是引发电子学革命的量子力学的理论基础。



虚数非常奇妙,比如i的余弦是一个实数:

cos(i) = cosh(1) = (e + 1/e)/2 = (e2 + 1) /2e = 1.54308064.

i的正弦是虚数:

sin(i) = sinh(1) i =[(e - 1/e)/ 2]i = 1.17520119 i.

i,e,π,0和1的奇妙关系:

eiπ+1=0

欧拉公式:



这个恒等式也叫做欧拉公式,它是数学里最令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率π;两个单位:虚数单位i和自然数的单位1;以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是"上帝创造的公式”。

欧拉公式是如何被发现的?原来跟泰勒级数展开式有关。





有了虚数轴,各种函数的图像都可以进行维度扩展了。



三角函数进行复数扩展就得到了双曲函数。



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